质心 形心的公式是什么

在解析几何中，一个图形的质心和形心是两个重要的特殊点，它们用于描述和计算图形的几何特征。对于平面图形，它们的公式如下：

1. 质心：平面图形的质心是图形内所有点的平均位置。对于平面上的点集$S$，其质心$(\overline{x},\overline{y})$的计算公式为：

$$ \overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \qquad \overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$$

其中$n$为点集$S$中点的个数，$(x_i,y_i)$为第$i$个点的坐标。

2. 形心：平面图形的形心是已知密度分布后的质心。对于密度函数为$\rho(x,y)$的平面图形，其形心$(\overline{x},\overline{y})$的计算公式为：

$$ \overline{x} = \frac{\int_S x\rho(x,y)dA}{\int_S \rho(x,y)dA}, \quad \overline{y} = \frac{\int_S y\rho(x,y)dA}{\int_S \rho(x,y)dA} $$

其中$S$为图形，$dA$为面积元素。

需要注意的是，质心和形心的计算公式在三维空间中也有类似的形式，只是需要将二维平面上的坐标改为三维空间中的坐标，并将面积元素$dA$改为体积元素$dV$。