直线的参数方程

是指以参数形式表示直线上的所有点，通常表示为：$P(t)=P_0+t\vec v$其中，$P_0$是直线上的一个确定点，$\vec v$是直线的方向向量，$t$是参数，可以取任何实数值。

将直线的方程表示为参数方程，可以方便地描述直线上的所有点，特别是在计算直线上的点之间距离和角度等问题时很有用。

和其他形式的方程表示一样有效，在不同的情况下可能更有效或更方便。

例如，在给定两个点的情况下，可以使用点斜式方程表示直线，或者如果已知直线的斜率和截距，则可以使用一般式方程。

是指用一个或多个参数表示直线上的所有点的坐标。对于三维空间中的直线，其参数方程可以用如下形式表示：$L(t) = P_0 + t\vec{v}$，其中 $P_0$ 是直线上的一个已知点，$\vec{v}$ 是直线的方向向量，$t$ 是实数参数，表示直线上任意一点的位置。

如果知道直线上其他一点 $Q=(x,y,z)$，则可以求出该点在参数方程下对应的参数值，即 $t = \dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} = \dfrac{z-z_0}{v_z}$。

参数方程是指，你不用去找x和y的关系了，找x、y和参数t的关系就行，那么点也不用x和y表示了，用t。

01

先复习一下参数方程的逻辑，详情见“圆的参数方程”。

对于圆，你确定了圆心、半径之后，可以写出圆的参数方程。

对于圆上的点A，只需确定θ，即可表示该点。

02直线呢？

我们用直线倾斜角确定了一排平行直线，再用直线上一点，唯一确定了这条直线。

那如何表示直线上任意一点B？

按照你以前的逻辑，根据直线斜率和已知点求出方程，

然后知x求y，或者知y求x，但前提是x和y你需要知道一个量，

要是不知道呢，我们怎么表示x和y？

回到图形本身：

我们把x和y分两部分，

在ΔABC中，

由此我们考虑，引入|AB|的长度做参数，写参数方程：

那么直线上任意点B(x, y)，即可用它到点A(2,1)的距离|AB|表示。

好，推广。

对于任意直线，已知倾斜角θ，且过定点A(x0, y0)，则直线上任意点B(x, y)的坐标可以写作：

所有满足这个方程的点，构成了直线l.

构成了直线？

看来，要表示直线，|AB|显然能力不足，我们引入一个带着方向的量t，

于是我们通过参数t，把上述①②简化为

03

现在你看，参数方程在表示距离方面有天然优势~

敬请期待“参数方程中的距离公式”

长

是$x=x_0+at$，$y=y_0+bt$，$z=z_0+ct$，其中$(x_0,y_0,z_0)$是直线上一点的坐标，$(a,b,c)$是直线的方向向量，$t$是参数。

这个方程描述的是一个点在直线上的位置，当$t$取不同的值时，点沿着直线移动。

因为直线的方向向量是固定不变的，所以$t$的变化决定了点在直线上的位置变化。

这个方程的应用非常广泛，可以用于计算直线上的任意一点的坐标，也可以用于计算直线上的两点之间的距离，同时还可以用于描述直线与平面的交点等等。