直线的参数方程
是指以参数形式表示直线上的所有点,通常表示为:$P(t)=P_0+t\vec v$其中,$P_0$是直线上的一个确定点,$\vec v$是直线的方向向量,$t$是参数,可以取任何实数值。
将直线的方程表示为参数方程,可以方便地描述直线上的所有点,特别是在计算直线上的点之间距离和角度等问题时很有用。
和其他形式的方程表示一样有效,在不同的情况下可能更有效或更方便。
例如,在给定两个点的情况下,可以使用点斜式方程表示直线,或者如果已知直线的斜率和截距,则可以使用一般式方程。
是指用一个或多个参数表示直线上的所有点的坐标。对于三维空间中的直线,其参数方程可以用如下形式表示:$L(t) = P_0 + t\vec{v}$,其中 $P_0$ 是直线上的一个已知点,$\vec{v}$ 是直线的方向向量,$t$ 是实数参数,表示直线上任意一点的位置。
如果知道直线上其他一点 $Q=(x,y,z)$,则可以求出该点在参数方程下对应的参数值,即 $t = \dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} = \dfrac{z-z_0}{v_z}$。
参数方程是指,你不用去找x和y的关系了,找x、y和参数t的关系就行,那么点也不用x和y表示了,用t。
01
先复习一下参数方程的逻辑,详情见“圆的参数方程”。
对于圆,你确定了圆心、半径之后,可以写出圆的参数方程。
对于圆上的点A,只需确定θ,即可表示该点。
02直线呢?
我们用直线倾斜角确定了一排平行直线,再用直线上一点,唯一确定了这条直线。
那如何表示直线上任意一点B?
按照你以前的逻辑,根据直线斜率和已知点求出方程,
然后知x求y,或者知y求x,但前提是x和y你需要知道一个量,
要是不知道呢,我们怎么表示x和y?
回到图形本身:
我们把x和y分两部分,
在ΔABC中,
由此我们考虑,引入|AB|的长度做参数,写参数方程:
那么直线上任意点B(x, y),即可用它到点A(2,1)的距离|AB|表示。
好,推广。
对于任意直线,已知倾斜角θ,且过定点A(x0, y0),则直线上任意点B(x, y)的坐标可以写作:
所有满足这个方程的点,构成了直线l.
构成了直线?
看来,要表示直线,|AB|显然能力不足,我们引入一个带着方向的量t,
于是我们通过参数t,把上述①②简化为
03
现在你看,参数方程在表示距离方面有天然优势~
敬请期待“参数方程中的距离公式”
长
是$x=x_0+at$,$y=y_0+bt$,$z=z_0+ct$,其中$(x_0,y_0,z_0)$是直线上一点的坐标,$(a,b,c)$是直线的方向向量,$t$是参数。
这个方程描述的是一个点在直线上的位置,当$t$取不同的值时,点沿着直线移动。
因为直线的方向向量是固定不变的,所以$t$的变化决定了点在直线上的位置变化。
这个方程的应用非常广泛,可以用于计算直线上的任意一点的坐标,也可以用于计算直线上的两点之间的距离,同时还可以用于描述直线与平面的交点等等。
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